Speakers
Carlos Benavides Gallego
(Ciencias-Observatorio Astronomico)Prof.
Eduard Larrañaga
(Ciencias-Observatorio Astronomico)
Description
\documentclass[a3paper,10pt]{article}
\textheight=23cm
\textwidth=16.5cm
\topmargin=-1.5cm
\oddsidemargin=0.5cm
\usepackage[spanish,activeacute]{babel}
\usepackage{amssymb,latexsym}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{flafter}
\usepackage{multicol}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{picinpar}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{multicol}
\newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{propotition}{Propotition}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{corollary}{Corolario}
\author{\small Carlos A. Benavides G.\\
\textsl{\footnotesize Universidad Nacional de Colombia-OAN}}
%\date{today}
\title{STRONG FIELD EXPANSION OF THE DEFLECTION ANGLE: BOZZA'S METHOD}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\textbf{Resumen}
\end{center}
En el siguiente trabajo se presenta el m\'etodo desarrollado por V. Bozza para el c\'alculo del \'angulo de deflexi\'on en el l\'imite campo fuerte. Con el fin de una exposici\'on clara y precisa del tema se hace necesario distribuir la discusi\'on en tres partes fundamentales. En la primera de ellas: \emph{Ecuaciones generales de movimiento}, el objetivo principal es obtener una expresi\'on general tanto para el \'angulo de deflexi\'on como para la esfera de fotones en t\'erminos de las componentes de una m\'etrica est\'atica y esf\'ericamente sim\'etrica. Para ello, se obtendr\'an las ecuaciones de movimiento de las coordenadas radial, temporal, azimutal y polar para una m\'etrica de este tipo. Estas ecuaciones son calculadas considerando la ca\'ida libre de una part\'icula material o de un fot\'on en un campo gravitacional est\'atico e isotr\'opico y usando el concepto de geod\'esica. Esta consideración de isotrop\'ia nos permite hallar un nuevo sistema de ecuaciones, a trav\'es del cual, es posible encontrar las cantidades conservadas: el momentum angular por unidad de masa (J) y la energ\'ia (E). Esto es posible gracias a que la condici\'on de isotrop\'ia nos permite desechar $\theta$ (la coordenada polar) como variable din\'amica. Manipulando algebraicamente este nuevo sistema de ecuaciones podemos encontrar $\phi(r)$; expresi\'on que ser\'a de gran ayuda para encontrar el \'angulo de deflexi\'on. Esto se hace suponiendo que la part\'icula o el fot\'on se aproximan desde una distancia muy grande. Igualmente, y dentro de esta primera parte, se obtendr\'a la ecuaci\'on para la esfera de fotones. Esta ecuaci\'on surge de considerar $r=cte$ en la ecuaci\'on diferencial para la coordenada $r$ en el nuevo sistema de ecuaciones. Es importante se\~nalar que esta ecuaci\'on debe tener al menos una soluci\'on positiva $r_m$; que usualmente se define como la mayor de las ra\'ices. Esta soluci\'on ser\'a de gran importancia para el m\'etodo. En la segunda parte de nuestra discuci\'on: \emph{M\'etodo de V. Bozza}, el objetivo principal se centra en explicar detalladamente el desarrollo matem\'atico del mismo. Este m\'etodo toma como punto de partida la expresi\'on del \'angulo de deflexi\'on calculada en la primera secci\'on. Inicialmente, Bozza expresa el integrando del \'angulo de deflexi\'on como el producto de dos funciones: $R(z,r_0)$ y $f(z,r_0)$; donde $z$ es funci\'on de $r_0$: el radio de m\'axima aproximaci\'on. Este m\'etodo comienza con una expansi\'on a segundo orden de $f(z,x_0)$ (pues $f(z,x_0)$ diverge para $z\rightarrow0$) Con dicha expansi\'on, El encuentra dos coeficientes: el coeficiente $\alpha(x_0)$ que est\'a relacionado con la esfera de fotones pues $\alpha=0$ para $x_0=x_m$; y el coeficiente $\beta(x_0)$ con el cual se calcula $\beta_m=\beta(x_m)$. De esta manera, Bozza pueden expresar el \'angulo de deflexi\'on como la contribuci\'on de dos integrales: una contribuci\'on regular ($I_R$) y una divergente ($I_D$). A partir de estas dos integrales Bozza desarrolla la estructura matem\'atica del método percatandose, al final, que en esta aproximaci\'on el \'angulo de deflexi\'on es de car\'acter logar\'itmico. Todo este desarrollo matem\'atico puede resumirse en cuatro pasos fundamentes: (1) Se resuelve $\alpha(x_m)=0$ para hallar $x_m$ (2) Se calcula $\beta_m$ y $R(0,x_m)$ (3) Se calcula $b_R$ usando las contribuciones regular y divergente (4) Se calcula la expresi\'on del \'agulo de deflexi\'on en esta aproximaci\'on. Finalmente, en nuestra tercera parte: \emph{Aplicaciones}, el inter\'es principal es el de mostrar dos casos en los cuales se puede aplicar el m\'etodo desarrollado por Bozza; estos casos corresponden a las m\'etricas esf\'ericamente sim\'etricas de Schwarzschild y Reissner-Nordstrom. Con estos dos ejemplos podremos entender el proceso explicado en la segunda parte, teniendo especial cuidado en los detalles matem\'aticos que de estos casos concretos surgen. Como es usual cuando se trabaja con un m\'etodo de c\'alculo, se hace necesario explicar su importancia y las posibilidades de aplicar este m\'etodo a casos m\'as generales; ya que este m\'etodo, seg\'un su creador, puede ser usado para cualquier m\'etrica esf\'ericamente sim\'etrica y para cualquier teor\'ia de gravedad. Una de las posibilidades m\'as cercanas, y que se ha planteado como proyecto de tesis de maestr\'ia dirigida por el profesor Eduar Alexis Larra\~naga, es la aplicaci\'on de este m\'etodo a una m\'etrica esf\'ericamente sim\'etrica que surge de la teor\'ia de cuerdas. Este estudio podr\'ia abrir muchas posibilidades en esta teoria; entre ellas: el estudio de las singularidades desnudas.
\begin{thebibliography}{8}
\bibitem{Weinberg} Steven Weinberg. \textit{Gravitation and Cosmology: Principles and Applications Of The General Theory Of Relativity}. John
Wiley and Sons 1972.
\bibitem{Bozza} V. Bozza. \textit {Gravitational lensing in the strong field limit} [arXiv:gr-qc/0208075v3]
\bibitem{Marsden} Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. \textit{C\'alculo vectorial}. Addison-Wesley Iberoamericana $3^{th}$ Edici\'on.
\bibitem{Kar} Sayan Kar 1999 Class. Quantum Grav. 16 101 \textit{Naked singularities in low-energy, effective string theory}.
\end{thebibliography}
\end{document}
Primary author
Carlos Benavides Gallego
(Ciencias-Observatorio Astronomico)
Co-author
Prof.
Eduard Larrañaga
(Ciencias-Observatorio Astronomico)
