Description
El estigmatismo riguroso estudia la formación ideal de una imagen puntual a partir de un objeto igualmente puntual. En óptica geométrica, las superficies tanto refractivas como reflectivas que cumplen con tal propiedad se les conoce como ovoides cartesianos o superficies cartesianas, las cuales tienen como casos particulares las cónicas, entre las cuales se encuentra la esfera. Todas estas superficies poseen un par de puntos rigurosamente estigmáticos, bajo los cuales se produce la formación de una imagen puntual perfecta a partir de un objeto puntual. Algunas de estas superficies son bastante usadas en la construcción de instrumentos ópticos, como es el caso de la superficie esférica refractiva, la cual ha sido una superficie de fácil fabricación. Estos instrumentos fabricados con superficies esféricas funcionan fuera del estigmatismo riguroso, por lo que fue necesaria una teoría de las aberraciones para poder medir su calidad.
Actualmente, existen otro tipo de superficies que son usadas para compensar las aberraciones inducidas por sistemas construidos por superficie esféricas. Este tipo de superficies se les conoce como superficies asféricas, y son capaces de minimizar las aberraciones primarias, mejorando la calidad de los sistemas ópticos. En algunos casos, estas superficies, pueden reemplazar un conjunto de superficies esféricas, de tal manera que el sistema resultante es mas liviano.
Las superficies cartesianas son catalogadas un sub-grupo de las superficies asféricas pero a diferencia de las superficies asféricas estas no han podido ser expresadas en una formulación estándar. En este trabajo es mostrada una manera, tanto implícita como explícita, de escribir este tipo de superficies. Esta formulación, conocida en la literatura como la formulación Silva-Torres es desarrollada mediante cuatro parámetros de forma y permite caracterizar toda la familia de ovoides cartesianos, de tal manera que se puedan representar en óptica geométrica superficies tanto refractivas y reflectivas que cumplen con la condición de estigmatismo riguroso. A partir de esta formulación se pueden construir sistemas rigurosamente estigmáticos conformados por un conjunto de superficies cartesianas.
Debido a que en cada superficie dentro de los sistemas conformados por superficies cartesianas se mantiene la condición de estigmatismo riguroso, se pudo formular una condición de aplanetismo para este tipo de sistemas. Como resultado se obtuvo una expresión exacta que indica bajo que condiciones estos sistemas son capaces de producir imágenes a partir de objetos extendidos, de tal manera que cumplen con la condición seno de Abbe. A este tipo de sistemas se les conoce como sistemas aplanéticos. A partir de esta expresión, se obtuvo lo que aquí llamamos el invariante paraxial para los sistemas conformados por superficies cartesianas.
Como resultado es posible obtener, mediante esta formulacion, sistemas rigurosamente estigmáticos y aplanéticos, libres de aberración esférica y coma, conformados por superficies cartesianas. Este enfoque tiene aplicaciones en áreas como microscopia, astronomía, fotolitografía, oftálmica y en aplicaciones de iluminación.
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Rigorous stigmatism studies the ideal formation of a point image from an equally point object. In geometrical optics, both refractive and reflective surfaces that satisfy such a property are known as Cartesian ovoid or Cartesian surfaces, which have as particular cases the conics, among which is the sphere. All these surfaces have a pair of rigorously stigmatic points, under which a perfect point image is formed from a point object. Some of these surfaces are widely used in the construction of optical instruments, such as the refractive spherical surface, which has been an easy surface to fabricate. These instruments made with spherical surfaces operate outside the rigorous stigmatism, so a theory of aberrations was necessary to measure their quality.
Nowadays, there are other types of surfaces that are used to compensate for the aberrations induced by systems built with spherical surfaces. These surfaces are known as aspherical surfaces, and they are able to minimise primary aberrations, improving the quality of optical systems. In some cases, these surfaces can replace a set of spherical surfaces, so that the resulting system is lighter.
Cartesian surfaces are categorised as a subset of aspheric surfaces, but unlike aspheric surfaces they have not been expressed in a standard formulation. In this paper a way, both implicit and explicit, of writing these surfaces is shown. This formulation, known in the literature as the Silva-Torres formulation, is developed by means of four shape parameters and allows to characterise the whole family of Cartesian ovoids, so that both refractive and reflective surfaces can be represented in geometrical optics, fulfilling the condition of rigorous stigmatism. From this formulation, rigorously stigmatic systems consisting of a set of Cartesian surfaces can be constructed.
Since the condition of rigorous stigmatism holds for each surface within the systems made up of Cartesian surfaces, it was possible to formulate an aplanatism condition for this type of system. As a result, an exact expression was obtained that indicates under which conditions these systems are able to produce images from extended objects, in such a way that they fulfil the Abbe sine condition. Such systems are known as aplanatic systems. From this expression, we obtain what we call here the paraxial invariant for systems made up of Cartesian surfaces.
As a result, it is possible to obtain, by means of this formula, rigorously stigmatic and aplanatic systems, free of spherical aberration and coma, conformed by Cartesian surfaces. This approach has applications in areas such as microscopy, astronomy, photolithography, ophthalmic and illumination applications.
